Hakutermit:

algebra, polynomirengas, euklidinen alue

Tutkielman pääaiheina ovat polynomirenkaat ja euklidiset alueet. Tutkielma on jaettu kolmeen lukuun.

Ensimmäinen luku sisältää esitietoja, joita tarvitaan toisessa ja kolmannessa luvussa. Ensimmäisessä luvussa käsitellään tutkielman pääaiheiden käsittelyssä tarvittavia käsitteitä ja lauseita. Lisäksi ensimmäisessä luvussa käydään lyhyesti läpi muutama tutkielmassa usein esiintyvä merkintätapa.

Toinen luku keskittyy polynomirenkaiden käsittelyyn. Toisessa luvussa määritellään aluksi polynomin ja polynomirenkaan käsitteet. Lisäksi käydään läpi polynomeihin ja polynomirenkaisiin liittyvien käsitteiden määritelmiä ja merkintätapoja. Luvussa käsitellään myös polynomien jaollisuutta ja esitetään useita polynomirenkaita koskevia lauseita, joista mainittakoon lauseet jakoalgoritmi ja jäännöslause.

Kolmannessa luvussa käsitellään euklidisia alueita. Ensimmäiseksi luvussa käydään läpi euklidisen alueen määritelmä. Gaussin kokonaislukujen joukko määritellään luvussa kolme ja Gaussin kokonaislukuja käsitellään myös laajemmin. Luvussa esimerkiksi todistetaan, että Gaussin kokonaislukujen rengas on euklidinen alue. Kolmannessa luvussa käsitellään myös euklidisen alueen ihanteita, kommutatiivisen renkaan alkioiden jaollisuutta ja käydään läpi liittoalkion määritelmä sekä esitetään liittoalkioiden ominaisuuksia koskevat kaksi lausetta. Suurimman yhteisen tekijän käsitettä laajennetaan kolmannen luvun viidennessä alaluvussa määrittelemällä käsite kommutatiivisessa renkaassa. Alaluvussa todistetaan kahden alkion suurimman yhteisen tekijän olemassaoloa koskeva lause ja lause, jonka perusteella alkioiden kaksi suurinta yhteistä tekijää ovat toistensa liittoalkioita. Kolmannen luvun kuudennessa eli viimeisessä alaluvussa käydään läpi tärkeä Eukleideen algoritmi. Kyseistä algoritmia käytetään euklidisen alueen kahden alkion suurimman yhteisen tekijän löytämiseen ja siinä sovelletaan tärkeää jakoalgoritmia.

Tutkielman jokainen luku sisältää useita esimerkkejä. Tutkielman tärkein lähdeteos on Malikin, Mordesonin ja Senin kirja Fundamentals of Abstract Algebra.