Konformigeometria ja kvasikonformikuvausten teoria ovat matematiikan aloja, joilla on laajalti sovelluksia moderneista fysiikan teorioista viimeaikaisiin sovelluksiin käänteisessä johtavuusongelmassa. Erityisesti käänteisen johtavuuden ongelma on huomattavan aktiivinen tutkimuksen ala, jossa suomalaiset tutkijat ovat saavuttaneet huomattavia tuloksia. Keskeisssä roolissa näissä matematiikan aloissa ovat Riemannin metriikat, jotka usein määrittelevät epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä tai esiintyvät niiden ratkaisuina. Johtuen kyseisten yhtälöiden epälineaarisuudesta, nämä matematiikan alat ovat edelleen alati kehittyviä. Tämä väitöskirja keskittyy tarkastelemaan Riemannian metriikoiden asemaa konformigeometriassa ja kvasikonformikuvausten teoriassa. Yleisellä tasolla voidaan tämän väitöskirjan tuloksiin nojaten sanoa, että Riemannin moniston konformikuvauksille ei ole yksinkertaista luokittelua. Väitöskirjassa esitellään uusi koordinaateista riippumaton määritelmä kvasikonformikuvauksille ja määriteltyjen kuvausten perusominaisuudet johdetaan. Näytetään, että numeroituva kvasikonformikuvausten ryhmä Riemannin monistolla (uuden määritelmän mielessä) voidaan ymmärtää ryhmänä konformikuvauksia toisen, optimaalisen, Riemannin metriikan suhteen. Toinen tämän väitöskirjan tulos osoittaa toisaalta, että millä tahansa vähintään kolmiulotteisella sileällä monistolla on äärettömän monia Riemannin metriikoita, joilden suhteen monistolla ei ole ainuttakaan konformikuvausta. Väitöskirjassa kehitetään periaatetta, jolla optimaalinen Riemannin metriikka ryhmälle kuvauksia voidaan löytää. Osoitetaan, että jos tilavuusmuodon säilyttävällä diffeomorfismilla on rajoitettu rata Riemannin metriikoiden avaruudessa, niin tällöin löytyy toinen Riemannin metriikka, jonka suhteen kyseinen diffeomorfismi voidaan mieltää isometriana. Tuloksen todistus nojaa Neumannin ergodisen teoreeman ja kiintopistelauseen yleistyksiin tiettyihin ei-positiivisen kaarevuuden metrisiin avaruuksiin. Nämä yleistykset on muotoiltu ja todistettu tässä väitöskirjassa. Lopuksi tässä työssä tutkitaan, miten Riemannin metriikoiden säännöllisyyden vaikutus ilmenee konformigeometriassa. Uusi todistus konformikuvausten säännöllisyydelle löydetään. Uusi todistus nojautuu uuteen koordinaattisysteemiin, joka yleistää sekä harmoniset että isotermiset koordinaatit. Kyseisten koordinaattien olemassaolo yleisellä Riemannin monistolla todistetaan. Tuloksien avulla osoitetaan suppenemistulos konformikuvauksille.